利⽤矩阵表⽰空间映射
由于矩阵乘法的作⽤，原始向量的空间位置甚⾄其所在空间的维度和形态都发⽣了改变，这便是 矩阵乘法的空间映射作用 。
矮胖矩阵对空间的降维压缩
空间降维的原理
当 m<n 的时候，矩阵是⼀个外表“矮胖“的矩阵，向量 x 是 $R^n$ 空间中的⼀个 n 维向量，x的n个基向量$e_i$分别被矩阵A映射成了n个m维向量， 由于$m < n$， 这一组目标向量所能张成的空间维数最大就是m。
在矩阵A的作用下， 位于$R^n$空间中的任意向量x， 经过映射作用，都转换到了一个维数更低的新空间中的新位置。 “矮胖”矩阵A压缩了原始空间$R^n$。
实际举例
我们用一个$2 \times 3$的矩阵A来举例
\[A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\end{bmatrix}\]映射前的向量是$x = \begin{bmatrix}x_1 \ x_2 \ x_3\end{bmatrix}$，它的默认基底是：
\[(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix})\]经过矩阵 A 的基变换后，这组默认的基底被映射为了三个⽬标向量：
\[(\begin{bmatrix}a_{11} \\ a_{21}\end{bmatrix},\begin{bmatrix}a_{12} \\ a_{22}\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}a_{13} \\ a_{23}\end{bmatrix})\]映后的目标向量：
\[x_1\begin{bmatrix}a_{11} \\ a_{21}\end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix}a_{12} \\ a_{22}\end{bmatrix} + x_3\begin{bmatrix}a_{13} \\ a_{23}\end{bmatrix}\]3 个⼆维向量必然是线性相关的，但是仍然分两种情况：
第⼀种情况是：
如果这 3 个⼆维⽬标向量共⾯但不共线，那么其所有的线性组合结果就构成⼆维平⾯$R^2$ ，经过矩阵 A 的映射，整个向量空 间就被压缩成了⼆维，如图
我们按照共⾯不共线的要求设定⼀个映射矩阵：
\[A = \begin{bmatrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{bmatrix}\]并在左侧的$R^3$空间中任取三个向量：
\[u = \begin{bmatrix}3 \\ 2 \\ 4\end{bmatrix}, v = \begin{bmatrix}-2 \\ 3 \\ 2\end{bmatrix}, w = \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}\]在矩阵A的作用下， 向量u的映射结果是：
\[Au = \begin{bmatrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3 \\ 2 \\ 4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5 \\ 7\end{bmatrix}\]向量v的映射结果是：
\[Au = \begin{bmatrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-2 \\ 3 \\ 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}\]向量w的映射结果是二维$\begin{bmatrix}0 \ 0\end{bmatrix}$
第⼆种情况：
如果这3个二维向量共线， 那么其线性组合就只能分布在二维平面$R^2$中的一条过原点(0, 0)的直线上， 经过矩阵的映射， 整个向量空间被压缩成了一维， 如图所示：
同样，为了直观演⽰这个降维压缩的过程，我们选取⼀个列向量共线的矩阵 A：
\[A = \begin{bmatrix}1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & -2\end{bmatrix}\]依然取上个例子中的三个三维向量：
\[u = \begin{bmatrix}3 \\ 2 \\ 4\end{bmatrix}, v = \begin{bmatrix}-2 \\ 3 \\ 2\end{bmatrix}, w = \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}\]向量u的映射结果是：
\[Au = \begin{bmatrix}1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & -2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3 \\ 2 \\ 4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3 \\ 6\end{bmatrix}\]向量v的映射结果是：
\[Av = \begin{bmatrix}1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & -2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-2 \\ 3 \\ 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 \\ 4\end{bmatrix}\]向量 w 的映射结果仍然是⼆维的零向量$\begin{bmatrix}0 \ 0\end{bmatrix}$
⾼瘦矩阵⽆法覆盖⽬标空间
原理：向量信息不增加
即 m×n 矩阵中的 m>n 这种情况，我们称之为“⾼瘦”矩阵。
x 的 n 个基向量 分别被矩阵 A 映射成了 n 个 m 维向量，由于 m>n，看上去 x 映射后的⽬标向量的维数提⾼了，变成了 m维。
那我们能不能说：经过矩阵 A 的映射，原始向量 x 构成的空间$R^n$变成了维数更⾼的空间$R^m$呢？答案是否定的，哲学点说，⼀个事物⽆中⽣有，那是不可能的，平⽩⽆故地⼀个向量携带的信息怎么能增加呢？
实际举例
我们用一个实际的$3 \times 2$矩阵来举例：
\[A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}\end{bmatrix}\]映射前的原始向量是二维空间中的$x = \begin{bmatrix}x_1 \ x_2\end{bmatrix}$。映射的过程是：
\[Ax = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2\end{bmatrix} = x_1 \begin{bmatrix}a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31}\end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix}a_{12} \\ a_{22} \\ a_{32}\end{bmatrix}\]由于映射前的向量x是二维空间$R^2$中的任意向量， $x_1$和$x_2$取任意数， 因此在矩阵A的作用下， 整个二维空间的映射结果就是$\begin{bmatrix}a_{11} \ a_{21} \ a_{31}\end{bmatrix}$和$\begin{bmatrix}a_{12} \ a_{22} \ a_{32}\end{bmatrix}$这两个向量的张成空间。
我们对这两个三维向量， 同样分两种情况：
第一种情况是
两个向量线性无关， 那么张成空间就是一个二维平面， 这个二维平面不是一个前面见过的由x轴和y轴构成的$R^2$的平面。
我们仍然举⼀个实际的例⼦：
\[A = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & -1\end{bmatrix}\]我们还是在原空间$R^2$内选取三个向量进行映射：
\[u = \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix}， v = \begin{bmatrix}-1 \\ 1\end{bmatrix}， w = \begin{bmatrix}0 \\ 0\end{bmatrix}\]映射后地结果分别是：
\[Au = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ -1\end{bmatrix}\] \[Av = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1 \\ 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1 \\ 1 \\ -1\end{bmatrix}\]而向量w经过矩阵映射后，仍是三维空间中的0向量， 如图所示：
我们再讨论第二种情况
如果两个向量线性相关， 那么张成空间就是一条直线， 那么同样， 这个直线式经过零点， 并“斜穿”过三维空间$R^3$的一条直线。
我们举一个实例：
\[A = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 1 & 2 \\ -1 & -2\end{bmatrix}\]我们仍然选取上文中的三个向量进行映射：
\[u = \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix}， v = \begin{bmatrix}-1 \\ 1\end{bmatrix}， w = \begin{bmatrix}0 \\ 0\end{bmatrix}\]映射后的结果分别是：
\[Au = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 1 & 2 \\ -1 & -2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3 \\ 3 \\ -3\end{bmatrix} Au = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 1 & 2 \\ -1 & -2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1 \\ 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ -1\end{bmatrix}\]而向量w经过矩阵映射后， 仍是三维空间中的零向量， 如图所示：
分多种情况的⽅阵映射
⾄于说如果矩阵 A 是⼀个 n 阶⽅阵，分析⽅法也是⼀样的，核⼼问题仍然是分析 A 的各列向量的线性相关性，我们很容易发现， $R^n$空间中的向量经过矩阵 A 的映射，其⽬标空间的维度就是这 n 个 n 维列向量的张成空间的维度，其映射空间的维度必然小于等于 n。
- 情况⼀： 当这三个列向量共⾯但不共线的时候， $R^3$空间中的向量经过映射，最后分布在“搭”在三维空间$R^3$中的 ⼀个平⾯上。
- 情况⼆： 当这三个列向量共线的时候， $R^3$空间中的向量经过映射，最后分布在“穿”过三维空间$R^3$中的⼀条直线 上。
空间映射形态的决定因素
矩阵的秩
我们把⼀个空间经过矩阵映射后得到的新空 间称之为它的像空间。
⼀个原始空间，经过⼏个形状相同的矩阵进⾏映射，像空间的维数可能不同；经过⼏个不同形状的矩阵进⾏映 射，⼜有可能得到维数相同的像空间。那么决定因素是什么？
决定因素就是空间映射矩阵的列向量，列向量张成空间的维数就是原始空间映射后的像空间维数。我们给矩阵列向量的张成 空间维数取了⼀个名字，就叫作： 矩阵的秩
