⼏何意义回顾
我们简要的再回顾⼀下$Ap = \lambda p$这个核⼼表达式：从空间⼏何意义的⻆度来理解，对于⼀个⽅阵 A，若 p 是的特征向量， $\lambda$是对应的特征值，则意味着向量 p 在⽅阵 A 的作⽤下，的空间变换就是其⻓度沿着向量的⽅向进⾏$\lambda$倍的伸缩。
所表达的⼏何意义简单、明晰。⼀般来说，⼀个向量在某个矩阵的作⽤下，其空间变换反映为⻓度和⽅向的改变：即旋转、 平移和拉伸，有些情况下甚⾄连维度都会发⽣变化，而这⾥的特殊之处就在于，矩阵作⽤于它的特征向量，仅仅只有⻓度发 ⽣了改变。
基本⼏何性质
我们针对性的讨论⼀些有意思的特殊情况：
- 特征值为 0 的情况。如果⼀个⽅阵 A 的某个特征值为$\lambda = 0$ ，那么当该矩阵作⽤在其对应的特征向量 p 上时，就有：Ap=0p=0。这意味着，该矩阵的零空间是⾮零向量 p，该矩阵表⽰的是空间压缩变换。 依据之前学习的有关知识我们知道，这就是⼀个不可逆的矩阵，即奇异矩阵。
- 对⻆矩阵的情况。对⻆矩阵$diag(1, 2, 3)$ ，其特征值就是 1、2、3，对应的特征向量即为：
- 相似矩阵的情况。如果矩阵 A 的特征向量为 p，特征值为$\lambda$ ，那么它的相似矩阵$S^{-1}AS$的特征值不变，仍为$\lambda$ ，特征向量变为了$S^{-1}p$ 。这个性质的验证⾮常简单：
特征向量的线性⽆关性讨论
- 如果⼀个 n 阶⽅阵 A，有 n 个两两不相同的特征值$\lambda_1, \lambda_2, …, \lambda_n$ ，那么这些特征值所对应的特征向量$p_1, p_2, …, p_n$线性⽆关。
我们可以⽤反证法进⾏简单的证明：
我们假设$\lambda_1 \neq \lambda_2$，而其对应的特征向量$p_1$和$p_2$线性相关，即$p_1 = \alpha p_2$，那么， $Ap_1 = \alpha A p_2 = \alpha A p_2 = \alpha \lambda_2 p_2 = \lambda_2 p_1$；同时我们知道$Ap_1 = \lambda_1 p_1$ ，那么就得满⾜$\lambda_1 p_1 = \lambda_2 p_1$ ，由于$p_1 \neq 0$ ，则必须要求$\lambda_1 = \lambda_2$ ，而这，与我们的假设是显然⽭盾的
我们举三个向量的例⼦看看，假设$\lambda_1 \neq \lambda_2 \neq \lambda_3$ ，而却有 对应的三个特征向量线性相关，即$p_1 = \alpha p_2 + \beta p_3$，其中， $\alpha, \beta \neq 0$（即$p_1$和$p_2$之间以及$p_1$和$p_3$之间是线性⽆关 的）。
两边同时乘以矩阵 A：
\[Ap_1 = A(\alpha_2 + \beta p_3) = \alpha Ap_2 + \beta A p_3\]进一步处理有：
\[Ap_1 = A(\alpha_2 + \beta p_3)\]代入等式$\alpha p_2 = p_1 - \beta p_3$， 最终得到等式：
\[(\lambda_1 - \lambda_2)p_1 + (\lambda_2 - \lambda_3)\beta p_3) = 0\]由于$p_1$和$p_3$是线性无关的， 要满足等式成立， 则要求$\lambda_1 = \lambda_2, \lambda_2 = \lambda_3$。显然与假设矛盾。
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接着上⾯的推理，如果 n 阶⽅阵 A 有 n 个特征值：$\lambda_1, \lambda_2, …, \lambda)n$ ，且其两两不同，那么其特征向量$p_1, p_2, …, p_n$依次排列所组成的⽅阵 P 就是可逆的，依据上⼀节所讲的内容，通过$P^{-1}AP = \Lambda$可以将其对⻆化，其中$\Lambda = diag(\lambda_1, \lambda_2, …, \lambda_n)$ 。
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由此我们得知：不同的特征值肯定对应着线性⽆关的特征向量，但是不能说相同的两个特征值对应的特征向量就⼀定线性 相关，⽐如我们最熟悉的单位对⻆矩阵$diag(1, 1, 1)$ ，它的三个特征值都是 1，但是其特征向量分别是:
