广义逆
$A \in \mathbb{R}^{m \times n}$， 如果存在 $X \in \mathbb{R}^{n \times m}$
- $AXA = A$
- $XAX = X$
- $(AX)^T = AX$
- $(XA)^T = XA$
称 $X$ 为 $A$ 的 MP 逆， 也叫广义逆， 伪逆， 记为 $A^{\dagger}$.
- $A^{\dagger}$ 对一切 $A$ 都存在
- $A^{\dagger}$ 唯一
- 广泛应用
- 可算
几何解释：
\[A： \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^m\] \[X \rightarrow AX\] \[A = (\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)\] \[X = \left[\begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ \cdots \\ x_n \end{matrix}\right]\] \[AX = \sum_{k=1}^n x_k \alpha_k\]广义逆的计算
一种是奇异值分解， 但是这种手算十分麻烦。
\[\Sigma = \left[\begin{matrix} \sigma_1 & & & 0 \\ & ... & & 0 \\ & & \sigma_n & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right], \qquad \Sigma^{\dagger} = \left[\begin{matrix} \sigma_1 & & & 0 \\ & ... & & 0 \\ & & \sigma_n & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right]\] \[A = U\Sigma V^T \qquad A^{\dagger} = V\Sigma^{\dagger} U^T\]