【矩阵论】第三章: 线性空间与线性变换

Posted by ShawnD on February 16, 2022

直和

\[dim(V_1 + V_2) + dim(V_1 \cap V_2) = dim V_1 + dim V_2\]

直和: 若 $V_1 \cap V_2$ = {0} , 则 $V_1 + V_2$ 称为直和, 记作 $V_1 \oplus V_2$。

定理 以下结论等价:

  • $V_1$ 与 $V_2$ 为直和
  • 对一切 $U \in V_1 + V_2$, 均存在唯一的 $U_1 \in V_1$, $U_2 \in V_2$, 使得 $U = V_1 + V_2$。
  • 若 $U_1 + U_2 = 0$, $U_1 \in V_1$, $U_2 \in V_2$, 则 $U_1 = U_2 = 0$
  • 若 {$v_1, v_2, …, v_k$} 是 $V_1$ 的基, {$u_1, u_2, …, u_n$} 为 $V_2$ 的基, 则 {$v_1, …, u_n$} 为 $V_1 + V_2$ 的基
  • $dim V_1 + dimV_2 = dim (V_1 + V_2)$

线性变换

\[f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ x \rightarrow kx \\ f(x + y) = f(x) + f(y) \\ f(lx) = lf(x)\]

定义:$ \mathcal{A}: V \rightarrow \mathcal{V}$, 满足:

  • 对一切 $v_1, v_2 \in V$, 有 $\mathcal{A}(v_1 + v_2) = \mathcal{A}v_1 + \mathcal{A}v_2$
  • 对一切 $v \in V, k \in \mathcal{F}$, 有 $\mathcal{A}(kv) = k(\mathcal{A}v)$

则 $\mathcal{A}$ 称为 $V$ 上的线性变换

$V$ 上一切线性变换 $End(V)$, $A \in End(A)$

线性变换与子矩阵