条件概率

在B事件发生的情况下，A事件发生的概率$P(A \mid B)$

假设一个实验有N个等可能的结果，事件A和事件B分别包含$M_1$和$M_2$个结果， 这其中有$M_{12}$个结果是公共的， 如图所示：

不难得出，B发生的前提下，A发生的概率为：$P(A \mid B) = \frac{M_{12}}{M_2}$

条件概率的表达式分析：

事件的独立性

则事件A和事件B相互独立， 此时B事件发生的概率不为0。

PS： 这里不严谨， 比如“已知向上的点数是偶数， 那么向上点数大于4”的概率是多少？

设向上的点数是偶数为事件B， 向上的点数大于4为事件A， 那么：

此时$P(A \mid B) = P(A)$, 显然A、B是不独立的

即

全概率公式

若$B_1, B_2, …, B_n$两两互斥， 且它们之和为事件的全集， 即：

我们引入事件A

因此，有：

$B_i$、$B_j$两两互斥， $AB_1$、 $AB_2$、…、 $AB_n$两两互斥，因此：

由条件概率公式$P(AB_i) = P(B_i)P(A \mid B_i)$，将上式转化：

这就是 全概率公式

$P(A)$就是各$P(A \mid B_k)$以$P(B_k)$为权的加权平均值

贝叶斯公式

由条件概率公式和全概率公式：

这就是贝叶斯公式

本质内涵：由因到果， 由果推因

全概率公式由各种原因推出结果事件发生的概率， 是由因到果

贝叶斯公式求得的是条件概率，观察到某种现象，反推这种现象的各种原因的概率， 是由果推因

先验概率和后验概率

单纯的概率$P(B_i)$叫做先验概率， 指的是在没有别的前提信息的情况下的概率， 一般需要借助我们的经验估计得到。

条件概率$P(B_i \mid A)$叫做后验概率， 代表获得了信息A之后$B_i$发生的概率， 后验概率是先验概率获取了新信息之后的一种修正。

贝叶斯公式的应用

贝叶斯公式应用的一个常见例子就是 光片的病理推断案例，在某个病人的 光片中，医生看 到了一个阴影，这就是结果事件A，我们希望对造成这个结果的三种可能原因（原因 1：恶性肿瘤；原因 2：良性肿瘤；原因 3：其他原因）进行分析判断，推断分属于各个原因的概率，如图所示：

若想求出原因是恶性肿瘤的概率，也就是条件概率：$P(B_1 \mid A)$的值

我们需要知道三种原因下出现阴影的概率： $P(A \mid B_1)$， $P(A \mid B_2)$， $P(A \mid B_3)$

三种原因的先验概率： $P(B_1)， P(B_2)， P(B_3)$

通过贝叶斯公式可计算得到：

Reference