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对立、互斥与独立性
互斥一定不独立，因为A发生， B一定不发生，A的发生对B产生影响， 因此A、B一定不独立。
对立是特殊的互斥。
条件独立
在给定事件C发生的前提条件之下， 若事件A和事件B满足等式：
\[P(A \cap B \mid C) = P(A \mid C)P(B \mid C)\] \[P(A \cap B \mid C) = \frac{P(A \cap B \cap C)}{P(C)} = \frac{P(C)P(B \mid C)P(A \mid B \cap C)}{P(C)} = P(B \mid C)P(A \mid B \cap C)\]由条件概率：
\[P(A \cap B \mid C) = \frac{P(A \cap B \cap C)}{P(C)}\]由链式法则：
\[P(A \cap B \cap C) = P(B \cap C)P(A \mid B \cap C) = P(C)P(B \mid C)P(A \mid B \cap C)\]上面的推导是不用相互独立的
\[P(A \cap B \mid C) = P(B \mid C)P(A \mid B \cap C)\]条件独立的定义式：
\[P(A \cap B \mid C) = P(A \mid C)P(B \mid C)\]联立上面两式：
\[P(B \mid C)P(A \mid B \cap C) = P(A \mid C)P(B \mid C)\]化简得：
\[P(A \mid B \cap C) = P(A \mid C)\]上式为条件独立的另一个等价定义。 在给定事件C发生的前提条件下， 进一步假定此时如果事件B也发生， 并不会影响事件A的发生概率。
独立与条件独立
事件A和事件B相护独立 和 事件A和事件B在事件C发生的基础上条件独立 是否等价？
例子：
依次抛掷两枚均匀的硬币， 事件A表示第一枚硬币正面向上， 事件B表示第二枚硬币正面向上。
事件A与事件B显然相互独立， 但是引入条件事件C， 事件C表示两次实验的结果不同， 此时事件A和事件B不条件独立。
用公式来表示：
\[P(A \cap B \mid C) = 0\] \[P(A \mid C) \neq 0, P(B \mid C) \neq 0\] \[P(A \cap B \mid C) \neq P(A \mid C) P(B \mid C)\]那么， 有没有条件独立，但是两个事件却不独立的例子呢？
即两个事件不相互独立， 但是加了条件之后， 条件独立。
QA
Q1： 不相关和相互独立之间的联系？
Q2： 在只知道P(ABC) = P(A) * P(B) * P(C)的条件下，举一个ABC不相互独立的例子？
Q3： 独立一定相容 但相容不一定独立 举个栗子？
Q4： 能否举个例子 说明两个事件不独立 但是在某条件下形成条件独立？
Q5： 两两独立和相互独立之间的关系，能否举出一个既是两两独立、但不是相互独立的例子？