改变空间位置：矩阵乘以向量的本质

矩阵在左，列向量在右，矩阵的列数和列向量的维数必须相等
矩阵和向量相乘的结果也是⼀个向量
矩阵的⾏数就是最终结果输出的列向量的维数
乘法的规则如上所⽰，就是矩阵的每⾏和列向量进⾏对应元素分别相乘后相加

import numpy as np

A = np.array([[1, 2],
             [3, 4],
             [5, 6]])

x = np.array([[4, 5]]).T

print(np.dot(A,x))

从结果看，原始向量表⽰⼆维空间中的⼀个点，坐标为 (4,5)，经过矩阵$\begin{bmatrix}1 & 2 \ 3 & 4 \ 5 & 6\end{bmatrix}$乘法的作⽤，转化为三维空间中坐标为 (14,32,50) 的点。

在特定矩阵的乘法作⽤下，原空间中的向量坐标，被映射到了⽬标空间中的新坐标，向量的空间位置（甚⾄是所在空间维数）由此发⽣了转化。

从⾏的⻆度思考

矩阵与向量的乘法如果从⾏的⻆度来看就是向量点乘。

\[Ax = \begin{bmatrix}row_1 \\ row_2\end{bmatrix}x = \begin{bmatrix}row_1 ·x \\ row_2·x\end{bmatrix}\]

列的⻆度：重新组合矩阵的列向量

从列的⻆度来看，矩阵 A 与向量 x 的乘法是对矩阵 A 的各列向量进⾏线性组合的过程，每个列向量的组合系数就是向量 x 的各对应成分。

\[Ax = \begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2\end{bmatrix} = x_1\begin{bmatrix}a \\ c\end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix}b \\ d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}ax_1 + bx_2 \\ cx_1 + dx_2\end{bmatrix}\]

进⼀步引申：变换向量的基底

二维向量$\begin{bmatrix}x \ y\end{bmatrix}$的坐标是x和y，它的坐标基于的是默认基底$\begin{bmatrix}1 \ 0\end{bmatrix}$和$\begin{bmatrix}0 \ 1\end{bmatrix}$。那么二维向量的完整表达式：

\[\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = x\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix} + y \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}\]

我们将矩阵与向量的乘法表达式做进一步展开：

\[\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}(x\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix} + y \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}) = x\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix} + y\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix} = x\begin{bmatrix}a \\ c\end{bmatrix} + y\begin{bmatrix}b \\ d\end{bmatrix}\]

在矩阵$\begin{bmatrix}a & b \ c & d\end{bmatrix}$的乘法作用下，向量的基地进行了变换。

映射钱由旧的基底分别乘以对应的坐标$(x, y)$来表示其位置，而映射后向量自然应该用新的基底来分别乘以对应坐标$(x, y)$来描述改变后的空间位置：

\[x\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix} + y\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix} \Rightarrow x \begin{bmatrix}a \\ c\end{bmatrix} + y \begin{bmatrix}b \\ d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}ax + by \\ cx + dy\end{bmatrix}\]

矩阵的各列就是映射后的新基底

扩展到三阶⽅阵

\[\begin{bmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{bmatrix}(x\begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} + y\begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix} + z\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}) = x\begin{bmatrix}a \\ d \\ g\end{bmatrix} + y\begin{bmatrix}b \\ e \\ h\end{bmatrix} + z\begin{bmatrix}c \\ f \\ c\end{bmatrix}\]

方阵的第一列$\begin{bmatrix}a \ d \ g\end{bmatrix}$是原始基向量$\begin{bmatrix}1 \ 0 \ 0\end{bmatrix}$映射后的新的基向量，方阵的第二列$\begin{bmatrix}b \ e \ h\end{bmatrix}$是原始基向量$\begin{bmatrix}0 \ 1 \ 0\end{bmatrix}$映射后的新的基向量，方阵的第三列$\begin{bmatrix}c \ f \ i\end{bmatrix}$是原始基向量$\begin{bmatrix}0 \ 0 \ 1\end{bmatrix}$映射后的新的基向量。

基变换的意外情况

“经过矩阵变换，会将原始的基底变换成为⼀组新的基底”这句话的表述就并不准确。对于⼀个 m×n 的矩阵 A 和 n 维列向量 x，经过 Ax 的乘法作⽤，x 的 n 个 n 维默认基向量构成的基底被转换成了 n 个 m 维的⽬标向量。