直和

\[dim(V_1 + V_2) + dim(V_1 \cap V_2) = dim V_1 + dim V_2\]

直和：若 $V_1 \cap V_2$ = {0} ，则 $V_1 + V_2$ 称为直和，记作 $V_1 \oplus V_2$。

定理以下结论等价：

$V_1$ 与 $V_2$ 为直和
对一切 $U \in V_1 + V_2$，均存在唯一的 $U_1 \in V_1$， $U_2 \in V_2$，使得 $U = V_1 + V_2$。
若 $U_1 + U_2 = 0$， $U_1 \in V_1$, $U_2 \in V_2$，则 $U_1 = U_2 = 0$
若 {$v_1, v_2, …, v_k$} 是 $V_1$ 的基， {$u_1, u_2, …, u_n$} 为 $V_2$ 的基，则 {$v_1, …, u_n$} 为 $V_1 + V_2$ 的基
$dim V_1 + dimV_2 = dim (V_1 + V_2)$

线性变换

\[f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ x \rightarrow kx \\ f(x + y) = f(x) + f(y) \\ f(lx) = lf(x)\]

定义：$ \mathcal{A}: V \rightarrow \mathcal{V}$，满足：

对一切 $v_1, v_2 \in V$，有 $\mathcal{A}(v_1 + v_2) = \mathcal{A}v_1 + \mathcal{A}v_2$
对一切 $v \in V， k \in \mathcal{F}$，有 $\mathcal{A}(kv) = k(\mathcal{A}v)$

则 $\mathcal{A}$ 称为 $V$ 上的线性变换

$V$ 上一切线性变换 $End(V)$, $A \in End(A)$