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代数系统
等幂律
设*是定义在集合A上的一个二元运算， 如果对于任意的$x \in A$， 都有$x * x = x$， 则称运算*是等幂的。
同构
如果双射函数h是从代数A到A’的同构， 那么：
- 两个代数必须有相同的构成成分
- 在函数h的作用下， A的每一运算保持
- 函数映射A的每一常数到A’的对应常数
例子：
代数$A = (S, *, \triangle, k)$和$A’ = (S’, *’, \triangle’, k’)$是同构的，如果存在一双射函数h，使：
- $h: S \rightarrow S’$
- $h(a * b) = h(a) *’ h(b)$
- $h(\triangle a) = \triangle’ h(a)$
- $h(k) = k’$
这里a、b时S的任意元素。 映射h叫做A到A’的同构， A’叫做A在映射h下的同构象。
同态
放弃同构定义中， $h: S \rightarrow S’$必须是双射函数的要求， 但仍保持其它条件， 这就得到数学上的同态的概念。
例子：
代数$A = (S, *, \triangle, k)$和$A’ = (S’, *’, \triangle’, k’)$是同构的，如果存在一函数h，使：
- $h: S \rightarrow S’$
- $h(a * b) = h(a) *’ h(b)$
- $h(\triangle a) = \triangle’ h(a)$
- $h(k) = k’$
这里a、b是S的任意元素， 则称h是从A到A’的同态， $(h(S), *’, \triangle ‘, k’)$称为A在映射h下的同态象
半群
设$V = <S, o>$是代数系统， o为二元运算， 如果o运算是封闭的、可结合的， 则称V为半群。
独异点
若$e \in S$是关于o运算的单位元， 则称V是含幺半群， 也叫做独异点。独异点V记作 $V = <S, o, e>$。
口语描述：半群有么元就是独异点。
群
- 封闭性
- 结合律
- 有么元
- 每个元素有逆元
口语描述：独异点加上逆元就是群
子群
问题： 一个群在什么条件下有非平凡子群，为什么？
平凡群：只包含单一元素e的群
平凡子群：对任何群G都存在子群。 G和{e}都是G的子群， 称为G的平凡子群。
设$<G, *>$是一个群， S是G的非空子集， 如果$<S, *>$也构成群， 则称$<S, *>$是$<G, *>$的一个子群。
有限群和无限群
设$<G, *>$是一个群。 如果G是有限集， 那么称$<G, *>$为有限群
G中的元素的个数通常称为该有限群的阶数， 记为$\mid G\mid$
如果G是无限集， 则称$<G, *>$为无限群
交换群（阿贝尔群）
群中的二元运算是可交换的
陪集和拉格朗日定理
左陪集（右陪集）
设$<H, *>$是群$<G, *>$的一个子群， $a \in G$， 则集合\(\{a\}H(H\{a\})\)称为由a所确定的H在G中的左陪集（右陪集）， 简称为H关于a的左陪集（右陪集）， 记为\(aH(Ha)\)。元素a称为陪集aH(Ha)的代表元素。
拉格朗日定理
Klein四元群
设\(G = \{e, a, b, c, d\}\)， o为G上的二元运算， 它由运算表9-6给出，不难证明G是一个群， 由表中可以看出G的运算具有下面的特点：
- e为G中的么元
- o是可交换的
- 任何G中的元素与子集运算的结果都等于e
- 在a， b， c三个元素中， 任何两个元素运算的结果都等于另一个元素
一般称这个群为Klein四元群
循环群
设$<G, *>$为群， 若在G中存在一个元素a， 使得G中任意元素都由a的幂组成， 则称该群为循环群， 元素a为循环群的生成元。
证明： 证明四阶群g必为循环群或klein群
证明 由拉格郎日定理可知,四阶群的元素的阶一定能整除群的阶4,故四阶群的元素的阶只能是1(幺元是唯一的1阶元),2,4,如果有一个元是4阶元,则该元自乘能生成群的所有元素,此时它是循环群,这个4阶元素是该循环群的生成元,否则如果除幺元外,所有的元均是2阶元,则此时该群正是4阶klein群.
群同态
前面在证明一个映射是否为同构映射的时候，都是先证明映射是一个双射，再证明它是否为同构映射。一个映射为双射是它为同构映射的必要条件。一般来说，条件越多，满足所有条件的可能性就越小，所以人们往往会推而广之，减少条件，使某个概念满足更加普遍的情况（就像矩阵的逆和它的左逆，右逆）。对于同构来说，就有一个更加一般性的概念 — 同态。同态并不要求映射是一个双射，只需要是个满射即可。直观的说，同态映射的像会比原来的群要“小”一些
设 (G,+),(H,∗) 是群,那么 G 到 H 的映射 f 称为 G 到 H 的同态映射。 对任意的 a,b∈G ，都有
\[f(a + b) = f(a) * f(b)\]格与布尔代数
格
设$<A, \leq>$是一个偏序集， 如果A中任意两个元素都有最小上界和最大下界， 则称$<A, \leq>$为格。
格诱导的代数系统
设$<A, \leq>$是一个格，如果在A上定义两个二元运算$\lor$和$\land$， 使得对于任意的$a, b \in A$
子格
设$<A, \leq>$是一个格， 由$<A, \leq>$诱导的代数系统为$<A, \lor, \land>$， 设$B \subseteq A$且$B \neq \emptyset$， 如果A中的这两个运算关于B是封闭的， 则称$<B, \leq>$为$<A, \leq>$的子格。
分配格
设$<A, \lor, \land>$是由格$<A, \leq>$所诱导的代数系统。 对任意的$a, b, c \in A$， 满足$a \land (b \lor c) = (a \land b) \lor (a \land c)$和$a \lor (b \land c) = (a \lor b) \land (a \lor c)$， 则称$<A, \leq>$是分配格。
设L是格， 则L是分配格当且仅当L不含有与钻石格或五角格同构的子格。
有界格
一个格中如果有一个元素比其他元素都大，这个元素叫做全上界， 记作1. 一个格中如果有一个元素比其他元素都小， 这个元素叫做全下界， 记作0.
有全下界和全上界的格叫做有界格
有补格
设$<L, \land, \lor, 0, 1>$是有界格， $a \in L$， 若存在$b \in L$使得$a \land b = 0$和$a \lor b = 1$成立， 则称b是a的补元
从图中来看， 是两个元素有共同的上确界和下确界。
设$<L. \land, \lor, 0, 1>$是有界格， 若L中所有元素都有补元存在， 则称L为有补格。
有补格加上分配格， 补元唯一。
布尔格（布尔代数）
如果一个格是有补分配格， 则成它为布尔格或布尔代数。
环与域
环
设$<A, \bigstar, *>$是一个代数系统， 如果满足：
- $<A, \bigstar>$是阿贝尔群
- $<A, *>$是半群
- 运算$*$对运算$\bigstar$是可分配的
则称$<A, \bigstar, *>$是环
域
设$<F, +, *>$是一个代数系统，如果满足：
- $<F, +，*>$是环
- \(<F - \{0\}, *>\)是交换群
则称$<A, +, ·>$是域。
图论
完全图：任意两个顶点之间都有边
补图： n个顶点的完全图减去该图， 就是该图的补图。
欧拉图
欧拉回路：图G的一个回路，如果恰通过图G的每一条边，则该回路称为欧拉回路，具有欧拉回路的图称为欧拉图。欧拉图就是从图上的一点出发，经过所有边且只能经过一次，最终回到起点的路径。
欧拉通路：即可以不回到起点，但是必须经过每一条边，且只能一次。也叫”一笔画”问题
基图：基图是针对有向图的说法，是忽略有向图的方向得到的无向图。
欧拉图:存在欧拉回路的图。
欧拉图是指通过图（无向图或有向图）中所有边且每边仅通过一次通路，相应的回路称为欧拉回路。
口语描述：看能不能一笔画。
定理1： 无向图G为欧拉图，当且仅当G为连通图且所有顶点的度为偶数。
推论1： 无向图G为半欧拉图，当且仅当G为连通图且除了两个顶点的度为奇数之外， 其它所有顶点的度为偶数。
哈密尔顿图
哈密尔顿路径： 穿程于G的每个结点一次且仅一次的路径称为哈密尔顿路径。
哈密尔顿回路： 穿程于G的每个结点一次且仅一次的回路称为哈密尔顿回路。
哈密尔顿图： 具有哈密尔顿回路的图为哈密尔顿图。
平面图
一个无向图$G = <V, E>$, 如果能把它图示在一平面上， 边与边只在顶点处相交， 则该图为平面图。
欧拉公式
任何一个凸多面体的顶点数n， 棱数m和面数k满足公式：
\[n - m + k = 2\]