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线性方程组的性态和条件数
最常用的条件数有以下两种：
- $cond(A)\infty = | A |{\infty} |A^{-1}|_{\infty}$
- $cond(A)2 = |A|_2|A^{-1}|_2 = \sqrt{\frac{\lambda{max}(A^TA)}{\lambda_{min}(A^TA)}}$
$cond(A)\infty = | A |{\infty} |A^{-1}|_{\infty}$
当A为对称矩阵时：
\[cond(A)_2 = \frac{\mid \lambda_1 \mid}{\mid \lambda_n \mid}\]当$cond(A) » 1$时，原始数据即使有很小的扰动， 解的误差可能很大。
条件数的性质如下：
- 对任何非奇异矩阵都有$cond(A) \geq 1$， 事实上：
- 设A为非奇异矩阵且$c \neq 0$(常数), 则：
- 如果A为正交矩阵， 则$cond(A)_2 = 1$; 如果A为非奇异阵矩阵， R为正交矩阵， 则：
正交矩阵：
\[A^TA = E\]基于矩阵三角分解的方法
LU分解
矩阵LU分解的存在唯一性： 对$n$阶矩阵$A$， 如果它的各项顺序主子式$D_i \neq 0, i=1, 2, …, n$， 则A可分解为一个单位下三角矩阵$L$和一个上三角矩阵$U$的乘积， 且这种分解是唯一的。
追赶法
**追赶法实际上就是把LU分解用到求解三对角线性方程组上去的结果。 **
迭代法
雅克比迭代法(Jacobi)迭代法
高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法
收敛
按行严格对角占优： 矩阵A的每一行对角元素的绝对值都严格大于该行非对角元素绝对值之和。
- 如果雅克比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的迭代矩阵的任何一种算子范数小于1， 则这两种迭代法必定收敛。
- 系数矩阵按行严格对角占优， Jacobi和Gauss-Seidel收敛
- 系数矩阵是正定矩阵， Gauss-Seldel收敛
超松弛迭代法
对称正定矩阵 超松弛迭代收敛的充分必要条件： 松弛因子 $\omega$ 满足 $0 < \omega < 2$