绪论

人工智能：萌芽，诞生（达特莫斯会议），发展

学派： 符号主义， 联接主义， 行为主义

学习：有监督和无监督

人：冯诺依曼，图灵

分类、聚类

离散模糊集合

假设论域$X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$，设$A$表示一个接近于0的模糊集合，各元素的隶属度函数依次为${1.0, 0.9, 0.8, 0.7, 0.6, 0.5, 0.4, 0.3, 0.2, 0.1}$，则A可表示为：

序偶法：

\[A = \{x, \mu_A(x) \mid x \in X\}\] \[\{(0, 1.0), (1, 0.9), (2, 0.8), ..., (9, 0.1)\}\]

扎德表示法：

\[A = \sum_{i=0}^{10} \frac{\mu_A(x_i)}{x_i} = \frac{1}{0} + \frac{0.9}{1} + \frac{0.8}{2} + ... + \frac{0.1}{9}\]

向量表示法：

\[\{1.0, 0.9, ..., 0.1\}\]

Ps：用扎德表示法时，隶属度函数等于0的项可以省略。用向量表示时，隶属度函数等于0的项

连续模糊集合

如果论域$U$是实数域，论域中有无穷多个连续的点，该论域称为连续论域，连续论域上的模糊集合克表示为： $F = \int_{u \in U} \mu_F(u) / u$。

积分号也不是通常的含义，只是表示对论域中每个元素都定义了相应的隶属函数。

若以年龄作为论域，并设$X = [0, 200]$。设$O$表示模糊集合“年老”，其隶属度函数为：

\[\mu_0(x) = \begin{cases} 0 & 0<x<50 \\ \frac{1}{1 + (\frac{5}{x - 50})^2} & x>50 \end{cases}\]

则年老集合可以表示为：

\[O = \int_{0 \leq x \leq 50} \frac{0}{x} + \int_{50 < x \leq 200}\frac{[1 + (\frac{5}{x - 50})^2]^{-1}}{x}\]

模糊集两要素：论域、隶属度函数

模糊集合运算

模糊空集

$\forall x \in X$, 均有$\mu_A(x) = 0$，称A为论域X上的模糊空集

记作$A = \Phi$，即 $\mu_{\Phi}(x) = 0$

模糊集合的并集

若有三个模糊集合$A$， $B$和$C$， $\forall x \in X$，均有：

\[\mu_C(x) = \mu_A(x) \lor \mu_B(x) = max[\mu_A(x), \mu_B(x)]\]

称C为A和B的并集，记作$C = A \cup B$。其中 $\lor$ 为Zadeh算子，表示“取大”运算

模糊集合的交集

若有三个模糊集合$A$， $B$和$C$， $\forall x \in X$，均有：

\[\mu_C(x) = \mu_A(x) \land \mu_B(x) = min[\mu_A(x), \mu_B(x)]\]

称C为A和B的交集，记作$C = A \cap B$。其中 $\land$ 为Zadeh算子，表示“取小”运算

非运算

若有两个模糊集合A与B， $\forall x \in X$，均有：

\[\mu_B(x) = 1 - \mu_A(x)\]

则称B为A的补集，记为 $B = \bar A$，也记作$A^C$.

模糊熵

A的模糊熵$E(A)$，在单位超立方体$I^n$中从0到1，其中顶点的熵为0, 表明不模糊，中点的熵1，是最大熵。从顶点到中点，熵逐渐增大。

\[E(A) = \frac{a}{b} = \frac{l^I(A, A_{near})}{l^I(A, A_{far})}\]

例：

$A = (\frac{1}{3}, \frac{3}{4})$， $A_{near} = (0, 1)$， $A_{far} = (1, 0)$

\[a = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12}\] \[b = \frac{2}{3} + \frac{3}{4} = \frac{17}{12}\] \[E(A) = \frac{7}{17}\]

模糊关系与模糊关系矩阵

$X = Y = R^+$，且$R =$ “y远远大于x”。

上面这句什么意思，不懂

R的隶属度函数主观定义为：

\[\mu_R(x, y) = \begin{cases} \frac{y - x}{x + y + 2} & y > x \\ 0 & else \\ \end{cases}\]

如果$x = {3, 4, 5}$， $Y = {3, 4, 5, 6, 7}$

则关系矩阵：

\[R = \begin{bmatrix} 0 & 0.111 & 0.200 & 0.273 & 0.333 \\ 0 & 0 & 0.091 & 0.167 & 0.231 \\ 0 & 0 & 0 & 0.077 & 0.134 \\ \end{bmatrix}\]

语言变量

句法规则：通过 否定词（不）或 程度词（非常、或多或少）来修饰几个基本术语（年轻，年老，中年）来产生句法规则。

压缩与扩张算子

\[A^k = \int_X [\mu_A(x)]^k / x\]

$K > 1$，压缩（很）； $k<1$，扩张，有点

或多或少有些年老：(年老)$^{0.5}$

不年轻也不年老： (-年轻)交(-年老)

年轻但不是太年轻： (年轻)交(-年轻)$^2$

特别年老： (年轻)$^8$

对比增强算子

\[INT(A) = \begin{cases} 2A^2 & 0 \leq \mu_A(x) \leq 0.5 \\ \frac{2A^2}{1 - 2(1 - A)^2} & 0.5 \leq \mu_A(x) \leq 1 \end{cases}\]

作用隶属度大于0.5，增大它；小于0.5，减少它

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