最明显的是，学习速率的大小很重要。如果它太大，优化就会发散，如果它太小，训练就需要太长时间，或者我们最终会得到次优结果。我们在前面看到，问题的条件数很重要。直观地说，它是最不敏感方向与最敏感方向的变化量之比。
其次，衰减的速度也同样重要。如果学习速率仍然很大，我们可能会在最小值附近跳跃，从而无法达到最优值。简而言之，我们想让学习率衰减，可能会比 $O(t^{-\frac{1}{2}})$ 更慢，但是对于凸问题将会是一个很好的选择。
另一个同样重要的方面是初始化。这与最初如何设置参数有关以及它们最初是如何发展的。这被称为 warmup，比如我们刚开始想解移动的速度有多快。一开始就采取大的步长可能没有好处，特别是因为初始参数是随机的。最初的更新方向可能也很没有意义。
最后，还有一些优化变量执行周期性学习率调整。

考虑到管理学习速率需要很多细节，大多数深度学习框架都有自动处理这一问题的工具。

Toy Problem

为此，我们选择了一个稍微现代化的LeNet版本(激活选择relu而不是sigmoid，池化选择MaxPooling而不是AveragePooling)。此外，为了提高性能，我们混合了网络。由于大多数代码都是标准的，所以我们只介绍基本的内容，而不作进一步的详细讨论。

%matplotlib inline
import math
import torch
from torch import nn
from torch.optim import lr_scheduler
from d2l import torch as d2l


def net_fn():
    model = nn.Sequential(
        nn.Conv2d(1, 6, kernel_size=5, padding=2), nn.ReLU(),
        nn.MaxPool2d(kernel_size=2, stride=2),
        nn.Conv2d(6, 16, kernel_size=5), nn.ReLU(),
        nn.MaxPool2d(kernel_size=2, stride=2),
        nn.Flatten(),
        nn.Linear(16 * 5 * 5, 120), nn.ReLU(),
        nn.Linear(120, 84), nn.ReLU(),
        nn.Linear(84, 10))

    return model

loss = nn.CrossEntropyLoss()
device = d2l.try_gpu()

batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size=batch_size)

# The code is almost identical to `d2l.train_ch6` defined in the
# lenet section of chapter convolutional neural networks
def train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device,
          scheduler=None):
    net.to(device)
    animator = d2l.Animator(xlabel='epoch', xlim=[0, num_epochs],
                            legend=['train loss', 'train acc', 'test acc'])

    for epoch in range(num_epochs):
        metric = d2l.Accumulator(3)  # train_loss, train_acc, num_examples
        for i, (X, y) in enumerate(train_iter):
            net.train()
            trainer.zero_grad()
            X, y = X.to(device), y.to(device)
            y_hat = net(X)
            l = loss(y_hat, y)
            l.backward()
            trainer.step()
            with torch.no_grad():
                metric.add(l * X.shape[0], d2l.accuracy(y_hat, y), X.shape[0])
            train_loss = metric[0] / metric[2]
            train_acc = metric[1] / metric[2]
            if (i + 1) % 50 == 0:
                animator.add(epoch + i / len(train_iter),
                             (train_loss, train_acc, None))

        test_acc = d2l.evaluate_accuracy_gpu(net, test_iter)
        animator.add(epoch+1, (None, None, test_acc))

        if scheduler:
            if scheduler.__module__ == lr_scheduler.__name__:
                # Using PyTorch In-Built scheduler
                scheduler.step()
            else:
                # Using custom defined scheduler
                for param_group in trainer.param_groups:
                    param_group['lr'] = scheduler(epoch)

    print(f'train loss {train_loss:.3f}, train acc {train_acc:.3f}, '
          f'test acc {test_acc:.3f}')

让我们看一下如果我们使用默认配置的算法将会发生什么，比如学习率 0.3, 训练30 epochs。注意训练的准确性是如何持续增加的，而测试的准确率在超过一个点后停滞不前。两条曲线的差距表明过拟合了。

lr, num_epochs = 0.3, 30
net = net_fn()
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=lr)
train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device)

train loss 0.143, train acc 0.944, test acc 0.898

Schedulers

调整学习速率的一种方法是在每一步都明确设置它。这可以通过 set_learning_rate 方法方便地实现。我们可以在每个epoch之后(甚至在每个minibatch之后)向下调整它，例如，以动态方式响应优化的进展。

lr = 0.1
trainer.param_groups[0]["lr"] = lr
print(f'learning rate is now {trainer.param_groups[0]["lr"]:.2f}')

learning rate is now 0.10

更一般地，我们想定义一个调度程序。当输入更新次数时，它返回适当的学习率值。让我们定义一个简单的公式来设置学习速率 $\eta = \eta_0 (t + 1)^{-\frac{1}{2}}$。

class SquareRootScheduler:
    def __init__(self, lr=0.1):
        self.lr = lr

    def __call__(self, num_update):
        return self.lr * pow(num_update + 1.0, -0.5)

让我们绘制它在一系列值上的行为。

scheduler = SquareRootScheduler(lr=0.1)
d2l.plot(torch.arange(num_epochs), [scheduler(t) for t in range(num_epochs)])

现在我们来看看这对训练 Fashion-MNIST 有什么影响。我们只是将调度程序作为训练算法的附加参数提供。

net = net_fn()
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr)
train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device,
      scheduler)

train loss 0.271, train acc 0.900, test acc 0.877

这比之前好多了。有两件事很突出:曲线比以前更加平滑。其次，有更少的过拟合。不幸的是，为什么特定策略不会导致过拟合，这个问题并没有在理论上得到很好的解决。有人认为，步长越小，参数越接近于零，因此越简单。然而，这并不能完全解释这种现象，因为我们并不是真的早早地停止学习，而是只是轻轻地降低学习速度。

Policies

虽然我们不可能涵盖学习速率调度器的全部种类，但我们试图在下面给出一个流行策略的简要概述。常见的选择是polynomial decay和piecewise constant schedules。除此之外，余弦学习速率调度已经被发现在一些问题上很好地工作。最后，在一些问题上，在使用大的学习速率之前预热优化器是有益的。

Factor Scheduler

polynomial decay的一种替代方法是乘法衰减，也就是 $\eta_{t+1} \leftarrow \eta_t · \alpha \text{ for } \alpha \in (0, 1)$。为了防止学习率下降到超出合理范围，更新公式通常被修改为 $\eta_{t+1} \leftarrow \max (\eta_{min}, \eta_t · \alpha)$。

class FactorScheduler:
    def __init__(self, factor=1, stop_factor_lr=1e-7, base_lr=0.1):
        self.factor = factor
        self.stop_factor_lr = stop_factor_lr
        self.base_lr = base_lr

    def __call__(self, num_update):
        self.base_lr = max(self.stop_factor_lr, self.base_lr * self.factor)
        return self.base_lr

scheduler = FactorScheduler(factor=0.9, stop_factor_lr=1e-2, base_lr=2.0)
d2l.plot(torch.arange(50), [scheduler(t) for t in range(50)])

这个也被 MXNet 通过 lr_scheduler 内置调度器实现了。它还需要一些参数，如warmup period、warmup mode (linear or constant)、所需更新的最大数量等。接下来，我们将适当地使用内置调度器，只在这里解释它们的功能。如上图所示，如果需要，构建您自己的调度程序是相当简单的。

Multi Factor Scheduler

训练深度网络的一种常见策略是保持学习率分段不变，在指定时间降低给定的学习率。也就是说，给定一组时间来降低速率，例如 $s = {5, 10, 20}$ 减少 $\eta_{t+1} \leftarrow \eta_t · \alpha$ 当 $t \in s$。假设值在每一步都减半，我们可以如下实现。

net = net_fn()
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.5)
scheduler = lr_scheduler.MultiStepLR(trainer, milestones=[15, 30], gamma=0.5)

def get_lr(trainer, scheduler):
    lr = scheduler.get_last_lr()[0]
    trainer.step()
    scheduler.step()
    return lr

d2l.plot(torch.arange(num_epochs),
         [get_lr(trainer, scheduler) for t in range(num_epochs)])

这种分段常数学习率计划背后的直觉是，在权重向量的分布达到一个平稳点之前，让优化持续进行。然后(也只有在那时)我们才能降低学习率，例如获得更高质量的学习率到一个良好的局部最小值。下面的示例展示了如何使用这种方法产生更好的解。

train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device,
      scheduler)

train loss 0.203, train acc 0.923, test acc 0.864

Cosine Scheduler

我们可能不想在一开始就大幅降低学习速率，我们可能想在最后用一个非常小的学习率来完善解，这依赖于我们的观察。这将产生一个类似余弦的调度，其学习速率的函数形式如下所示：

\[\eta_t = \eta_T + \frac{\eta_0 - \eta_T}{2}(1 + \cos(\pi t /T))\]

这里 $\eta_0$ 是初始学习率， $\eta_T$ 是在 T 时刻的目标学习率。此外，对于 $t > T$，我们将它的值固定为 $\eta_T$ 而不再减少它。在下面的例子中，我们设置最大的更新步为 $T=20$。

class CosineScheduler:
    def __init__(self, max_update, base_lr=0.01, final_lr=0, warmup_steps=0,
                 warmup_begin_lr=0):
        self.base_lr_orig = base_lr
        self.max_update = max_update
        self.final_lr = final_lr
        self.warmup_steps = warmup_steps
        self.warmup_begin_lr = warmup_begin_lr
        self.max_steps = self.max_update - self.warmup_steps

    def get_warmup_lr(self, epoch):
        increase = (self.base_lr_orig - self.warmup_begin_lr) \
                       * float(epoch) / float(self.warmup_steps)
        return self.warmup_begin_lr + increase

    def __call__(self, epoch):
        if epoch < self.warmup_steps:
            return self.get_warmup_lr(epoch)
        if epoch <= self.max_update:
            self.base_lr = self.final_lr + (
                self.base_lr_orig - self.final_lr) * (1 + math.cos(
                    math.pi *
                    (epoch - self.warmup_steps) / self.max_steps)) / 2
        return self.base_lr

scheduler = CosineScheduler(max_update=20, base_lr=0.3, final_lr=0.01)
d2l.plot(torch.arange(num_epochs), [scheduler(t) for t in range(num_epochs)])

在计算机视觉的背景下，这个调度可以导致改进的结果。但是请注意，不能保证这样的改进(如下所示)。

net = net_fn()
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.3)
train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device,
      scheduler)

train loss 0.190, train acc 0.929, test acc 0.899

Warmup

在某些情况下，初始化参数不足以保证得到一个好的解决方案。这对于一些高级网络设计来说尤其是个问题，可能会导致不稳定的优化问题。我们可以通过选择一个足够小的学习速率来解决这个问题，以防止一开始就出现发散。不幸的是，这意味着进展缓慢。相反，大的学习率最初会导致发散。

解决这一困境的一个相当简单的方法是使用warmup，在此期间学习率增加到最初的最大值，然后冷却学习率，直到优化过程结束。为简单起见，通常使用线性递增。这导致了如下表所示的调度。

scheduler = CosineScheduler(20, warmup_steps=5, base_lr=0.3, final_lr=0.01)
d2l.plot(torch.arange(num_epochs), [scheduler(t) for t in range(num_epochs)])

请注意，网络在开始时收敛得更好(特别是观察前5个时期的性能)。

net = net_fn()
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.3)
train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device,
      scheduler)

train loss 0.195, train acc 0.928, test acc 0.899

Warmup可以应用于任何调度程序(不仅仅是余弦)。他们特别发现，在非常深的网络中，warmup阶段限制了参数的发散量。这在直觉上是有意义的，因为我们预计由于在网络的那些部分的随机初始化而导致显著的发散，这些部分在开始时花费了最多的时间。