分析映射的逆过程
逆矩阵
对于⼀个 m×n 的矩阵，乘法 y=Ax 的作⽤就是将向量从 n 维原空间中的 x 坐标位置，映射到 m 维⽬标空间的 y 坐标位置，这是正向映射的过程。那么，如果已知结果向量的坐标 y 去反推原向量的坐标 x，这个过程就称 之为 逆映射 ，因为逆映射也是⼀种映射过程，因此表征逆映射的矩阵，我们称之为：$A^{-1}$
和反函数进⾏类⽐
我们来看最简单的⼀次函数：y=f(x)=ax+b，x 的取值范围为整个实数域，指定某个具体的 x，我们就能得到对应的 y，y 的取值范围也是整个实数域。那么反过来，我们看看其反函数的形式：$x = f^{-1}(y) = \frac{y - b}{a}$， 试图通过结果y， 来找到对应的x。
但是， 这有一个重要的前提条件， 就是$a \neq 0$。
我们通过 y=ax+b，实现了从 x 到 y 的映射，但是必须基于$a \neq 0$的前提条件下，我们才能通过$x = \frac{y - b}{a}$，将 y 重新映射回 x。因为当 a=0 时，y=0x+b，此时正⽅向上的映射$x \Rightarrow y$仍然存在，⽆论 x 取任何数，最终的映射结果都是 y=b，但是反⽅向$y \Rightarrow x$的映射就不存在了。
⼀⽅⾯当 y=b 的时候，有⽆穷多种 x 的取值可能，显然⽆法完成映射。另⼀⽅⾯，当$y \neq b$的时候，找不到满⾜等式条件的 x 值，因此映 射也是不存在的。
矮胖矩阵（列 > ⾏）的映射不可逆
映射压缩了空间
第一种情况时矩阵$A$将向量$x = [x_1, x_2, …, x_n]^T$映射到$y = [y_1. y_2, …, y_m]^T$， 其中$n > m$。
我们举个实际的例⼦，即 A 是⼀个 2*3 的矩阵，我们上⼀讲讨论过，如果矩阵 A 的三个列向量共⾯不共线，则该矩阵将⼀ 个$R^3$空间压缩成⼀个⼆维平⾯，如果三个列向量共线，则经过映射最终将其压缩成⼀条直线。
这种映射的本质是将 x 所在的三维空间，映射到 y 所在的⼆维空间（或者是⼀维空间），对应了压缩扁平化的操作，即有多个 x 会被转移到同⼀个 y 上。
我们用一个例子来描述一下压缩这个过程， $A = \begin{bmatrix}1 & 1 & 0 \ 1 & 0 & 1\end{bmatrix}$， 我们聚焦映射后目标空间中的零向量$y = \begin{bmatrix}0 \ 0\end{bmatrix}$， 看看原空间中有多少向量会被映射到哪。
即：
\[Ax = \begin{bmatrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 0\end{bmatrix}\]展开得到：
\[x_1 + x_2 = 0 \\ x_1 + x_3 = 0\]处理一下， 即在原始空间$R^3$中， 各成分满足$x_2 = x_3 = -x_1$的向量, 经过矩阵的映射， 都能映射到目标空间的原点上。 显而易⻅，原始空间⾥满⾜这个条件的向量有⽆穷多个，如图 所⽰，它们分布在⼀条直线上。
。在上⾯的 那个例⼦中，满⾜ Ax=0 的 x 分布在⼀条直线上，因此 N(A) 的维度是 1 维的。
如果⼀个矩阵 A 存在着逆映射，则意味着其映射后的点是要能被唯⼀还原的，因此显然零空间 N(A) 对应的不能是⼀维直线、⼆维平⾯，而只能是⼀个点，也就是原始空间中的 0 向量，即如果⼀个矩阵可逆，它的 N(A) 必须 是 0 维的。
“⾼瘦”矩阵（⾏ > 列）的映射不可逆
⽬标空间⽆法被完全覆盖
“矮胖”矩阵在映射过程中，压缩了空间，丢失了信息，因此这个映射可谓是再也回不去了。那我们再看，如果映射的结果 向量 y 的维度⼤于原空间向量 x 的维度，例如在矩阵$\begin{bmatrix}1 & 0 \ 0 & 1 \ 0 & -1\end{bmatrix}$的作⽤下，将⼀个⼆维向量映射成⼀个三维向量，⼜是⼀个什么情况呢？
表⾯上看，我们似乎没有压缩空间，反而是把⼀个⼆维向量扩充成了三维向量，信息量应该更⼤了。点肯定能逆映射回原空间找到出发点。实际上⼀定能做到么？并不能，因为我们是把⼆维空间映射到⼀个三维空间，而仅凭 ⼆维空间的信息量就想把三维空间全部覆盖，根本不可能，最终的映射效果如图 所⽰。
从表⾯数字上看，之前的⼀个⼆维空间被映射到了三维空间⾥，但实际上我们发现，映射的结果实质上是⼀个“倾斜”的搭 在三维空间中的⼀个⾯，它是⼆维的。那么这个⼆维平⾯外的任意⼀点，都⽆法找到原空间中对应的出发点，因此⾼瘦矩阵 的逆映射⾃然也是不存在的。
列空间的概念
从这个例⼦中，我们⼜引出⼀个空间的概念，叫列空间。⼀个原始空间经过矩阵映射得到的对应空间，本质上就是该矩阵各 列所有线性组合的结果，我们称之为列空间 C(A)。在这个 3×2 的矩阵$A = \begin{bmatrix}1 & 0 \ 0 & 1 \ 0 & -1\end{bmatrix}$的例子中， 映射的目标空间是三维的$R^3$空间， 而列空间是$R^3$中的一个二维平面。
⽅阵逆映射的讨论
⾸先很简单，必须先得是⼀个⽅阵。
在矩阵 A 是 n 阶⽅阵的前提下，以下条件都与可逆性等价：
- 矩阵 A 的零空间的维数为 0，或列空间的维数为 n；
- 列向量$a_1, a_2, …, a_n$线性⽆关。
