谈谈$\Delta y$与$dy$
⾸先我们还是来看导数的含义，如果函数 f(x) 在点$(x_0, y_0)$处是可微的，那么依照定义就有：
\[\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = f'(x_0)\]$\Delta x$的值越小，越趋近于0， $\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$就越趋向于$x_0$处导数的真实值$f’(x_0)$。
对式子进行变换：
\[f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \approx \Delta x f'(x_0)\]这个表达式的左侧部分$f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$乘坐$\Delta y$， 顾名思义就是当自变量x从$x_0$变到$x_0 + \Delta x$时， y的真实改变量， 而右侧部分$\Delta x f’(x_0)$我们称之为dy， 它充当的是$\Delta y$的近似值，如图所示：
因此， dy可以作为$\Delta y$的一个近似值来看待， 特别是当$\Delta x$越小的时候， 近似效果越好。
对于⾃变量为 x 的可微函数 y=f(x)，$\Delta x$ 、$dx$ 、$\Delta y$ 、$dy$ 的含义分别总结如下：
- $\Delta x$： 表示自变量x的任意增量。
- $dx$：表示自变量x的微分， 实际上就等于$\Delta x$。
- $\Delta y$： 表⽰当⾃变量 x 变化到$dy = f’(x)dx$时，因变量 y 的真实改变量，即：$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$ 。
- $dy$：因变量y的微分， 实际上$dy = f’(x)dx$, 微分 dy 可以作为真实值$\Delta y$的⼀个近似。
因此可以看出，微分的作⽤⾮常⼴，我们这⾥⾸要关⼼的就是它在近似过程中的应⽤：
\[f(x + \Delta x) = f(x) + \Delta y \approx f(x) + dy = f(x) + f'(x) \Delta x\]线性近似的概念
基于上⾯的式⼦，进⼀步的，我们可以表⽰出：假如函数 f 在 c 点处可微，由直线⽅程的写法可以拿出函数 f 的曲线在点 (c,f(c)) 处的切线⽅程 g(x)：
\[f'(c) = \frac{g(x) - f(c)}{x - c} \Rightarrow g(x) = f(c) + f'(c)(x - c)\]那么此时，过点 (c,f(c)) 的切线 g(x) 就可以看做是原函数 f 在点 c 处的线性近似.
我们试着⽤上⾯的⽅法来观察⼀下函数 f(x)=1+sin2x 在取值$x = \pi / 2$处的线性近似情况。
我们⾸先按照上⾯的公式写出$x = \pi / 2$处的切线⽅程：
\[g(x) = f(c) + f'(c)(x - c) = f(\pi / 2) + f'(\pi / 2)(x - \pi / 2) \\ = 1 + sin \pi + 2 cos \pi (x - \pi / 2) = -2 x + (1 + \pi)\]即：$g(x) = -2x + (1 + \pi)$
然后我们绘制出$f(x)$和$x = \pi / 2$处切线的图像， 并在不同的自变量区域尺度内观察：
很明显的是，随着⾃变量 x 区间的不断收窄，在点$(\pi/2, f(\pi))$的领域附近，切线的图像和原函数是⾼度重合的，因此在 越来越小的时候，线性近似的效果就会显得越好。
关于⽆穷级数
⽆穷级数的前 n 项和
这⾥我们引⼊⼀个背景知识进⾏讨论。当我们⽤计算机来计算正余弦函数或者是⾃然对数的幂，即$e^n$的时候，通常是基于下⾯的⽆穷数列来给出满⾜较⾼精度的近似值：
\[sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + ...\] \[cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + ...\] \[e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + ...\]上⾯的表达式就是⽆穷级数。⽆穷级数的概念很多，我们先看最简单的：⼀组数字的⽆穷级数：
\[\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ...\]在这个级数当中，如果只包含第⼀项，那么和就为 1/2，如果包含前两项，那么和为 1/2+1/4=3/4，如果只包含前三项，那么和就为$1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8$。
级数的前有限项的和，我们叫作部分和。我们把前 n 项部分和记为是$S_n$，很显然对照上⾯所描述的就有：
\[S_1 = \frac{1}{2}, S_2 = \frac{3}{4}, S_3 = \frac{7}{8}\]还可以归纳出 $S_n = 1 - \frac{1}{2^n}$，并且可以看得出， $S_n$ 收敛于 1。
而⾄于说⽆穷级数的和，我们将其定义为部分和$S_n$的极限：
\[\lim_{n \rightarrow \infty} S_n\]当然，我们脱离上⾯这些个具体的数字来谈定义，我们给出⽆穷级数前 n 项和的⼀般表⽰⽅法，即考虑⽆穷级数：
\[a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + ...\]那么在这种表示方法之下， 前n项的和定义为：
\[S_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n = \sum_{k=1}^{n} a_k\]级数的收敛性
对于⼀个⽆穷级数$\sum_{k=1}^\infty a_k$ ，如果由它的前 n 项和构成的数列$S_1, S_2, S_3, …, S_n$最终收敛于 S，那么我们就称⽆穷级数 $\sum_{k=1}^\infty a_k$ 收敛并且它的和为 S。反之，如果数列$S_1, S_2, S_3, …, S_n$发散，那么⽆穷级数也是发散的，这个⽆穷级数是没有和的。
⼏何级数
对于⽆穷级数，我们特别地需要关注以下这种形式：
\[\sum_{k=1}^\infty a r^{k-1} = a + ar + ar^2 + ar^3 + ...\]其中$a \neq 0$。
这种形式所表⽰的级数，称之为⼏何级数，这是⼀种⽐较常⻅的级数。更具体的，我们可以把⼏何级数划分为两⼤类。
⼀类是常数项级数，即不含⾃变量的，类似于：
\[\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + ...\]也就是上⾯写的$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$这种形式。
另外⼀类就是函数项的级数，即$\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)$ 。这其中，级数的每⼀项$a_n(x)$都是⼀个关于⾃变量 x 的函数，函数项的级数⽤处更为⼴泛，它将是我们后续内容中的重点研究的对象。
最基本、最简单的⼀种函数项⽆穷级数：
\[\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + ...\]我们就将其称之为⾃变量 x 的幂级数。而进⼀步，我们将这种表达式⼀般化，写成是：
\[\sum_{n=0}^\infty a_n (x - a)^n = a_0 + a_1(x - a) + a_2(x - a)^2 + a_3(x - a)^3 + ...\]这称为关于 x-a 的幂级数。
函数的幂级数表⽰及其近似
利⽤泰勒级数表⽰函数
我们是想探究这样⼀个问题，那就是给定⼀个已知函数 f(x)，我们能否将这个函数以 x-a 的幂级数的形式进⾏ 表⽰，并且探索它的⼀些重要性质？
那么，更具体的，我们的⽬标就是找到⼀组数$c_0, c_1, c_2,…, c_n$，使得函数 f(x) 表达成如下的形式：
\[f(x) = c_0 + c_1(x - a) + c_2(x - a)^2 + c_3(x - a)^3 + ...\]如果这个式⼦想要成⽴，很显然，我们对上⾯的级数表达式进⾏求导，从⼀阶导数开始，逐步求取它的⾼阶导数（ n 阶 导）：
\[f(x) = c_0 + c_1(x - a) + c_2(x - a)^2 + c_3(x - a)^3 + ...\] \[f'(x)=c_1+2c_2(x-a) + 3c_3(x-a)^2+4c_4(x-a)^3+...\] \[f'’(x)=2\times 1c_2+3\times 2c_3(x-a)+4\times 3c_4(x-a)^2+...\] \[f^{(3)}(x)=3\times 2\times 1c_3+4\times 3\times 2c_4(x-a)+5\times 4\times 3c_5(x-a)^2...\] \[f^{(4)}(x)=4\times 3\times 2\times 1c_4+5\times 4\times 3\times 2c_5(x-a)...\]看上去⼀⼤篇的式⼦，我们⼜该如何处理呢？其实也很容易，我们将 x=a 代⼊到上⾯的所有表达式中，就可以顺利地消去所 有的⾮常数项：
\[f(a)=c_0\Rightarrow c_0=f(a)\] \[f'(a)=c_1\Rightarrow c_1=f'(a)\] \[f'’(a)=2\times 1c_2\Rightarrow c_2=\frac{f''(a)}{2!}\] \[f^{(3)}(a)=3\times 2\times 1c_3 \Rightarrow c_3=\frac{f^{(3)}}{3!}\] \[f^{(4)}(a)=4\times 3\times 2\times 1c_4 \Rightarrow c_4=\frac{f^{(4)}}{4!}\]最后，我们可以得出系数$c_n$的⼀般表达形式：
\[c_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}\]从这个推导过程中，我们知道了函数 f(x) 如果能⽤关于 (x-a) 的幂级数的形式来进⾏表⽰，那么表达的⽅式不可能多于⼀ 种。那么，对于⼀个给定函数 f(x) 而⾔，⽤以 (x-a) 为表达⽅式的幂级数，我们就将其称之为 泰勒级数 ，而⼀种⽐较特殊的情况，即当 a=0 时的幂级数，我们可以将其称之为麦克劳林级数。
如果我们把泰勒级数的项数固化到 n 项，会更⽅便于我们在实际过程中的处理，毕竟我们不可能处理⽆限个级数项。这⾥我们运⽤微分中值定理，就可以把⽆穷 项的泰勒级数转化为有限项的泰勒级数，这⾥运⽤到的就是带有余项的泰勒公式，即如果函数f(x) 的 (n+1) 阶导数$f^{(n+1)}$在 x=a 的邻域内存在，那么在这个邻域内函数 f 可以表⽰成以下的有限项的形式：
\[f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + ... + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + R_n(x)\]最后⼀项$R_n(x)$我们称之为余项，换句话说它代表了函数真实值 f(x) 与前 n 项和之间的误差，利⽤微分中值定理，我们可 以将其表⽰为：
\[R_n(x) = \frac{f^{(n + 1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}\]在这其中， c 是 x 和 a 之间的⼀点。
函数的泰勒近似
我们可以利⽤函数 f 的泰勒级数的前 n 项和来对函数在 x=a 邻域内的实际取值进⾏ 近似。
再回过头来看看前⾯对于函数的线性近似的内容，我们讲过函数 f 在 a 点邻域内的值，可以⽤经过函数 f 点 (a,f(a)) 的切线 去近似：
\[p_1(x) = f(a) + f'(a) (x - a)\]看看这是什么？我们发现 由两项组成，即包含泰勒级数关于 x=a 点展开的 0 阶项和 1 阶项，因此，我们把线性近似称之为是⼀阶泰勒多项式。
但是我们不难发现，毕竟切线是⼀条直线，⽤它去近似函数 f 所代表的曲线，只要随着⾃变量 x 稍微远离 a 点，近似值和实 际的函数取值的差距就会显著增⼤。
于是我们就在想，线性近似只使⽤了泰勒级数的第 0 项和第 1 项，似乎丢失了太多后⾯的信息，那么我们把级数中后续更⾼ 阶的项也利⽤起来，例如⽤ 2 阶泰勒多项式：
\[p_2(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2\]这个相⽐于⼀阶泰勒多项式（也就是线性近似），它的近似效果会显得更好。 如果我们追求更⾼的近似精度，我们可以使⽤更⾼阶数的 n 阶泰勒多项式进⾏函数的近似：
\[p_n(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + ... + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n\]并且相应地，如果此时 a=0 ，那么 n 阶泰勒多项式就转化为了 n 阶麦克劳林多项式，⽤于对 0 附近邻域内的函数取值进⾏ 近似。
\[f(x) \approx p_n(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(x)}{2!}x^2 + ... + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\]